Đường thẳng y = (m – 2)x + n (d) đi qua hai điểm A(-1;2) và B(3; -4). Khi đó tọa độ các điểm A, B thỏa mãn (d), nghĩa là:

2 = (m – 2)(-1) + n (1)

và -4 = (m – 2).3 + n (2)

Rút gọn hai phương trình (1) và (2), ta được

-m + n = 0; (1’)

3m + n = 2. (2’)

Từ (1’) suy ra n = m. Thay vào (2’), ta có 3m + 3 = 2 suy ra m = 1/2.

Trả lời: Khi m = n = 1/2 thì (d) đi qua hai điểm A và B đã cho.

a) Theo giả thiết, hai điểm \(A(1;1)\) và \(B( - 1;0)\) thuộc parabol \(\left( P \right):y = a{x^2} + bx + 3\) nên ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a + b + 3 = 1}\\{a - b + 3 = 0}\end{array}\,\, \Leftrightarrow \,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = \frac{{ - 5}}{2}}\\{b = \frac{1}{2}}\end{array}} \right.} \right.\)

Vậy hàm số cần tìm là: \(y =  - \frac{5}{2}{x^2} + \frac{1}{2}x + 3.\)

b) Parabol nhận \(x = 1\) làm trục đối xứng nên \( - \frac{b}{{2a}} = 1\,\, \Leftrightarrow \,\,b =  - 2a.\)

Điểm \(M(1;2)\) thuộc parabol nên \(a + b + 3 = 2\,\, \Leftrightarrow \,\,a + b =  - 1.\)

Do đó, ta có hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{b =  - 2a}\\{a + b =  - 1}\end{array}\,\, \Leftrightarrow \,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 1}\\{b =  - 2}\end{array}} \right.} \right.\)

Vậy hàm số cần tìm là: \(y = {x^2} - 2x + 3\)

c) Parabol có đỉnh \(I(1;4)\) nên ta có:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - \frac{b}{{2a}} = 1}\\{a + b + 3 = 4}\end{array}\,\, \Leftrightarrow \,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{b =  - 2a}\\{a + b = 1}\end{array}\,\, \Leftrightarrow \,\,} \right.} \right.\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a =  - 1}\\{b = 2}\end{array}} \right.\)

Vậy hàm số cần tìm là: \(y =  - {x^2} + 2x + 3.\)

\(A\left(\sqrt{3}-\sqrt{2};1-\sqrt{6}\right)\in\left(d\right)\\ \Leftrightarrow\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)a+b=1-\sqrt{6}\left(1\right)B\left(\sqrt{2};2\right)\in\left(d\right)\\ \Leftrightarrow a\sqrt{2}+b=2\left(2\right)\\ \left(1\right)\left(2\right)\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a\sqrt{3}-a\sqrt{2}+b=1-\sqrt{6}\\a\sqrt{2}+b=2\end{matrix}\right.\)

Lấy 2 PT trừ nhau

\(\Leftrightarrow a\left(2\sqrt{2}-\sqrt{3}\right)=1+\sqrt{6}\\ \Leftrightarrow a=\dfrac{\sqrt{6}+1}{2\sqrt{2}-\sqrt{3}}=\dfrac{\left(\sqrt{6}+1\right)\left(2\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)}{8-3}\\ \Leftrightarrow a=\dfrac{11\sqrt{2}+\sqrt{3}}{5}\\ \Leftrightarrow b=2-a\sqrt{2}=\dfrac{10-\sqrt{2}\left(11\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)}{5}\\ \Leftrightarrow b=\dfrac{-12-\sqrt{6}}{5}\)

(d) // (d') : y = -x + 3 

\(\left\{{}\begin{matrix}m+3=-1\\n-2\ne3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m=-4\\n\ne5\end{matrix}\right.\)

<=> (d) : \(y=-x+n-2\)

Thay x = -2 vào (d'') : y = 3x + 4 

<=> y = -6 + 4 = -2 

Vậy (d) cắt (d'') tại A(-2;-2) 

<=> -2 = 2 + n - 2 <=> n = -2 (tmđk) 

Vậy (d) : y = -x -4 

a: (d)'//(d) nên (d'): y=-3x+b

Thay x=1 và y=2 vào (d'), ta được:

b-3=2

=>b=5

=>y=-3x+5

b: PTHĐGĐ là;

mx^2+3x-1=0

Để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt nằm về cùng một phía so với trục tung thì

(-3)^2-4*m*(-1)>0 và -1/m>0

=>m<0 và 9+4m>0

=>m<0 và m>-9/4

=>-9/4<m<0

a: (d)//(d1)

=>(d): y=-2x+b

Thay x=2 và y=-3 vào (d), ta được:

b-4=-3

=>b=1

b: Vì (d) vuông góc (d2)

nên (d): y=x+b

Thay x=-1 và y=-2 vào (d), ta được:

b-1=-2

=>b=-1

Sửa đề: Sao cho biểu thức T đạt GTLN

Phương trình hoành độ giao điểm là:

\(\dfrac{1}{2}x^2=\left(m+1\right)x-m^2-\dfrac{1}{2}\)

=>\(\dfrac{1}{2}x^2-\left(m+1\right)x+m^2+\dfrac{1}{2}=0\)

=>\(x^2-\left(2m+2\right)x+2m^2+1=0\)

\(\text{Δ}=\left(2m+2\right)^2-4\left(2m^2+1\right)\)

\(=4m^2+8m+4-8m^2-4=-4m^2+8m\)

Để phương trình có hai nghiệm thì Δ>=0

=>\(-4m^2+8m>=0\)

=>\(-4\left(m^2-2m\right)>=0\)

=>\(m^2-2m< =0\)

=>\(m\left(m-2\right)< =0\)

TH1: \(\left\{{}\begin{matrix}m>=0\\m-2< =0\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}m>=0\\m< =2\end{matrix}\right.\)

=>0<=m<=2

TH2: \(\left\{{}\begin{matrix}m< =0\\m-2>=0\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}m< =0\\m>=2\end{matrix}\right.\)

=>Loại

\(\dfrac{1}{2}x^2-\left(m+1\right)x+m^2+\dfrac{1}{2}=0\)

\(a=\dfrac{1}{2};b=-\left(m+1\right);c=m^2+\dfrac{1}{2}\)

Theo Vi-et, ta có: 

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=\dfrac{-b}{a}=\dfrac{m+1}{\dfrac{1}{2}}=2\left(m+1\right)\\x_1\cdot x_2=\dfrac{c}{a}=\dfrac{m^2+\dfrac{1}{2}}{\dfrac{1}{2}}=2\left(m^2+\dfrac{1}{2}\right)=2m^2+1\end{matrix}\right.\)

\(T=y_1+y_2-x_1x_2-\left(x_1+x_2\right)\)

\(=\dfrac{1}{2}x_1^2+\dfrac{1}{2}x_2^2-2m^2-1-2m-2\)

\(=\dfrac{1}{2}\left(x_1^2+x_2^2\right)-2m^2-2m-3\)

\(=\dfrac{1}{2}\left[\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2\right]-2m^2-2m-3\)

\(=\dfrac{1}{2}\left[\left(2m+2\right)^2-2\left(2m^2+1\right)\right]-2m^2-2m-3\)

\(=\dfrac{1}{2}\left[4m^2+8m+4-4m^2-2\right]-2m^2-2m-3\)

\(=\dfrac{1}{2}\left(8m+2\right)-2m^2-2m-3\)

\(=4m+1-2m^2-2m-3=-2m^2+2m-2\)

\(=-2\left(m^2-m+1\right)\)

\(=-2\left(m^2-m+\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{4}\right)\)

\(=-2\left[\left(m-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}\right]\)

\(=-2\left(m-\dfrac{1}{2}\right)^2-\dfrac{3}{2}< =-\dfrac{3}{2}\)

Dấu '=' xảy ra khi m=1/2

Lời giải:
PT hoành độ giao điểm:

$\frac{1}{2}x^2-(m+1)x+m^2+\frac{1}{2}=0$

$\Leftrightarrow x^2-2(m+1)x+2m^2+1=0(*)$

Để 2 đths cắt nhau tại 2 điểm pb thì pt $(*)$ phải có 2 nghiệm pb

$\Leftrightarrow \Delta'=(m+1)^2-(2m^2+1)>0$

$\Leftrightarrow m(2-m)>0$

$\Leftrightarrow 0< m< 2$
Áp dụng định lý Viet:

$x_1+x_2=2m+2$
$x_1x_2=2m^2+1$
Khi đó:

$T=y_1+y_2-x_1x_2-(x_1+x_2)$

$=\frac{1}{2}(x_1^2+x_2^2)-x_1x_2-(x_1+x_2)$

$=\frac{1}{2}(x_1+x_2)^2-2x_1x_2-(x_1+x_2)$

$=\frac{1}{2}(2m+2)^2-2(2m^2+1)-(2m+2)$

$=-2m^2+2m-2$

Với điều kiện $0< m< 2$ thì biểu thức này không có min nhé. Bạn xem lại.

a/ Gọi 1 vtpt của d là \(\left(a;b\right)\)

\(\Rightarrow cos45^0=\frac{\left|1.a+3.b\right|}{\sqrt{a^2+b^2}.\sqrt{1^2+3^2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\)

\(\Leftrightarrow\left|a+3b\right|=\sqrt{5a^2+5b^2}\)

\(\Leftrightarrow a^2+9b^2+6ab=5a^2+5b^2\)

\(\Leftrightarrow4a^2-6ab-4b^2=0\Leftrightarrow\left(a-2b\right)\left(2a+b\right)=0\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a=2b\\b=-2a\end{matrix}\right.\) chọn \(\left[{}\begin{matrix}\left(a;b\right)=\left(2;1\right)\\\left(a;b\right)=\left(1;-2\right)\end{matrix}\right.\)

Có 2 đường thẳng thỏa mãn:

\(\left[{}\begin{matrix}2\left(x+2\right)+y=0\\1\left(x+2\right)-2y=0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}2x+y+4=0\\x-2y+2=0\end{matrix}\right.\)

b/ Đường thẳng \(d_2\) nhận \(\left(6;-4\right)\) là 1 vtcp nên nhận \(\left(2;3\right)\) là 1 vtpt

Gọi 1 vtpt của d có dạng \(\left(a;b\right)\)

\(cos60^0=\frac{\left|2a+3b\right|}{\sqrt{a^2+b^2}.\sqrt{2^2+3^2}}=\frac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow\left|4a+6b\right|=\sqrt{13a^2+13b^2}\)

\(\Leftrightarrow16a^2+36b^2+48ab=13a^2+13b^2\)

\(\Leftrightarrow3a^2+48ab+23b^2=0\)

Chọn \(a=1\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}b=\frac{-24+13\sqrt{3}}{3}\\b=\frac{-24-13\sqrt{3}}{3}\end{matrix}\right.\)

Có 2 đường thẳng thỏa mãn:

\(1\left(x+1\right)+\frac{-24+13\sqrt{3}}{3}\left(y-2\right)=0\)

Và \(1\left(x+1\right)+\frac{-24-13\sqrt{3}}{3}\left(y-2\right)=0\)

Số xấu quá, bạn tự rút gọn

c/ Gọi M là trung điểm AB \(\Rightarrow M\left(2;3\right)\)

\(\overrightarrow{AB}=\left(6;2\right)=2\left(3;1\right)\)

Đường thẳng d qua P cách đều AB sẽ có 2 trường hợp xảy ra:

TH1: d qua P và M

\(\overrightarrow{MP}=\left(0;2\right)=2\left(0;1\right)\)

\(\Rightarrow\)Đường thẳng d nhận \(\left(1;0\right)\) là 1 vtpt

Phương trình d:

\(1\left(x-2\right)+0\left(y-5\right)=0\Leftrightarrow x-2=0\)

TH2: d qua P và song song AB

\(\Rightarrow\)d nhận \(\left(1;-3\right)\) là 1 vtpt

Phương trình d:

\(1\left(x-2\right)-3\left(y-5\right)=0\Leftrightarrow x-3y+13=0\)